已知函数f(x)对于一切x、y∈R,都有f(xy)=f(x+y)+f(x-y).(Ⅰ)求证:f(x)在R上是偶函数;(Ⅱ)若f(x)在区间(-∞,0)上是减函数
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)对于一切x、y∈R,都有f(xy)=f(x+y)+f(x-y). (Ⅰ)求证:f(x)在R上是偶函数; (Ⅱ)若f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,且有f(2a2+a+1)<f(-2a2+4a-3),求实数a的取值范围. |
答案
(Ⅰ)证明:函数f(x)对于一切x、y∈R,都有f(xy)=f(x+y)+f(x-y), 令x=0,得f(0)=f(y)+f(-y),…(1分) 再令y=x,得f(0)=f(x)+f(-x).…①…(2分) 令y=0,得f(0)=f(x)+f(x).…②…(3分) ①-②得f(-x)-f(x)=0,…(4分) ∴f(-x)=f(x).…(5分) 故f(x)在R上是偶函数.…(6分) (Ⅱ)因为f(x)在R上是偶函数, 所以f(x)的图象关于y轴对称.…(7分) 又因为f(x)在区间(-∞,0)上是减函数, 所以f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.…(8分) ∵2a2+a+1=2(a2+a+-)+1=2(a+)2+>0, -2a2+4a-3=-2(a2-2a+1-1)-3=-2(a-1)2-1<0, ∴2a2-4a+3>0.…(9分) ∵f(-2a2+4a-3)=f(2a2-4a+3). 原不等式可化为f(2a2+a+1)<f(2a2-4a+3)…(10分) ∴2a2+a+1<2a2-4a+3.解之得a<.…(11分) 故实数a的取值范围是a<.…(12分) |
举一反三
已知函数f(x)=x2+(x≠0, k为常数), (1)若k=-1,求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)讨论函数f(x)的奇偶性,并加以证明. |
函数y=log(x2-6x+5)的单调增区间是______. |
如果函数f(x)满足:对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)f(b),且f(1)=2,则++++…+=______. |
若函数f(x)=,则f(log43)=______. |
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