已知函数f(x)=2x-2-x2x+2-x(1)求f(x)的定义域与值域;(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)研究f(x)的单调性.
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已知函数f(x)=2x-2-x2x+2-x(1)求f(x)的定义域与值域;(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)研究f(x)的单调性.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
2
x
-
2
-x
2
x
+
2
-x
(1)求f(x)的定义域与值域;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)研究f(x)的单调性.
答案
原函数化为:
f(x)=
4
x
-1
4
x
+1
.
(1)令分母4
x
+1≠0,该不等式恒成立,故定义域为R
函数的解析式可以变为
f(x)=1-
2
4
x
+1
,由于4
x
+1>1,故0<
1
4
x
+1
<1
故0<
2
4
x
+1
<2,
∴f(x)的值域是(-1,1)
(2)函数是一个奇函数,证明如下
f(-x)=
4
-x
-1
4
-x
+1
=
1-4
x
1+4
x
= -
4
x
-1
4
x
+1
=-f(x)
,故是一个奇函数.
(3)f(x)在(-∞,+∞)是一个增函数,证明如下
由于
f(x)=1-
2
4
x
+1
,在(-∞,+∞)上,2
x
+1递增且函数值大于0,
2
4
x
+1
在(-∞,+∞)上是减函数,
故
f(x)=1-
2
4
x
+1
在(-∞,+∞)上是增函数.
举一反三
下列函数中,满足“对任意x
1
,x
2
∈(0,+∞),都有
f(
x
1
)-f(
x
2
)
x
1
-
x
2
>0成立”的是( )
A.f(x)=
1
x
B.f(x)=ln(x+1)
C.f(x)=
(
1
2
)
x
D.f(x)=|x-1|
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
设f(x)=
e
x
(x≤0)
ln x(x>0)
,则f[f(-
1
2
)]=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列三个条件:①对任意的x∈R都有f(x+2)=-f(x);②对于任意的0≤x
1
<x
2
≤2,都有f(x
1
)<f(x
2
),③f(x+2)的图象关于y轴对称,则f(4.5),f(6.5),f(7)的大小关系是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=a
|x+1|
(a>0且a≠1)的值域为(0,1],则不等式log
a
(x
2
-5x+7)>0的解集为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知
f(x)=
(2-a)x+1,x<1
a
x
,x≥1
(a>0,a≠1)
是R上的增函数,那么a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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