已知函数f(x)=2x+ax,且f(1)=1.(1)求实数a的值,并写出f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(3)判断函数f(x)在(

已知函数f(x)=2x+ax,且f(1)=1.(1)求实数a的值,并写出f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(3)判断函数f(x)在(

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2x+
a
x
,且f(1)=1.
(1)求实数a的值,并写出f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;
(3)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
答案
(1)由f(1)=1得,2+a=1,解得a=-1,
所以f(x)=2x-
1
x

(2)函数f(x)为奇函数,证明如下:
函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
且f(-x)=-2x+
1
x
=-(2x-
1
x
)=-f(x),
所以f(x)为奇函数;
(3)f(x)在(1,+∞)上单调递增,证明如下:
因为f′(x)=2+
1
x2
>0,
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.
举一反三
函数y=lg(x2+4x-5)的单调递增区间为(  )
A.(-2,+∞)B.(-∞,-2)C.(1,+∞)D.(-∞,-5)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





(
1
2
)x-1,x≤0
f(x-1),x>0
,则f(1+log23)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=
2x-2-x
2x+2-x

(1)求f(x)的定义域与值域;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)研究f(x)的单调性.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0成立”的是(  )
A.f(x)=
1
x
B.f(x)=ln(x+1)C.f(x)=(
1
2
)
x
D.f(x)=|x-1|
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设f(x)=





ex(x≤0)
ln x(x>0)
,则f[f(-
1
2
)]=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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