已知函数y=f(x)对任意的实数x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0(1)求f(0); (2)判断函数y=f(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数y=f(x)对任意的实数x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0 (1)求f(0); (2)判断函数y=f(x)的单调性,并给出证明. (3)如果f(x)+f(2-3x)<0,求x的取值范围. |
答案
(1)解令x2=0,由f(x1+0)=f(x1)+f(0) 即:f(x1)=f(x1)+f(0),解之得f(0)=0---------------(3分) (2)函数y=f(x)在区间 (-∞,+∞)是减函数 证明:设x1,x2∈R,且x1<x2 则f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2-x1)]-f(x1)=f(x1)+f(x2-x1)-f(x1)=f(x2-x1), ∵x1<x2,得x2-x1>0. ∴由当x>0时f(x)<0,得f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0 可得f(x1)>f(x2) ∴函数y=f(x)在区间(-∞,+∞)是减函数---------------(9分) (3)∵f(0)=0且f(x)+f(2-3x)=f[x+(2-3x)]=f(2-2x), ∴不等式f(x)+f(2-3x)<0转化为f(2-2x)<f(0), 又∵f(x)在区间(-∞,+∞)是减函数 ∴2-2x>0,解之得x<1,即x的取值范围为(-∞,1)---------------(12分) |
举一反三
探究函数f(x)=x+,x∈(0,+∞)取最小值时x的值,列表如下:
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … | y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … | 设函数f(x)= | 4x,x∈(-∞,1] | log81x,x∈(1,+∞) |
| | 则f()的值为______. | 证明函数f(x)=x+在区间(0,2]上是减函数. |
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