已知函数f(x)=x-cx+1,其中c为常数,且函数f(x)图象过原点.(1)求c的值;(2)证明函数f(x)在[0,2]上是单调递增函数;(3)已知函数g(x

已知函数f(x)=x-cx+1,其中c为常数,且函数f(x)图象过原点.(1)求c的值;(2)证明函数f(x)在[0,2]上是单调递增函数;(3)已知函数g(x

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
x-c
x+1
,其中c为常数,且函数f(x)图象过原点.
(1)求c的值;
(2)证明函数f(x)在[0,2]上是单调递增函数;
(3)已知函数g(x)=f(ex)-
1
3
,求函数g(x)的零点.
答案
(1)∵函数f(x)图象过原点,∴f(0)=0,解得 c=0,故函数f(x)=
x
x+1

(2)证明:设0≤x1<x2≤2,
则f(x1)-f(x2)=
x1
x1+1
-
x2
x2+1
=
x1(x2+1)-x2(x1+1)
(x1+1)(x2+1)
=-
x2-x1
(x1+1)(x2+1)

由0≤x1<x2≤2 可得,x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0,故有-
x2-x1
(x1+1)(x2+1)
<0,
则f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2 ),
故函数f(x)在[0,2]上是单调递增函数.
(3)令g(x)=f(ex)-
1
3
=
ex
ex+1
-
1
3
=0

ex=
1
2
,即x=ln
1
2
=-ln2,
即函数g(x)的零点为 x=-ln2.
举一反三
定义在R上的函数f(x)满足f(
1
2
+x)+f(
1
2
-x)=2
,则f(
1
8
)+f(
2
8
)+f(
3
8
)+…+f(
7
8
)
=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=


3-ax
,若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=





8
x
x≥0
x(x-2)x<0
,则f(-2)=______,f[f(-2)]=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设f(x)=





ex
f(x-1)
,则f(ln3)=(  )
A.
3
e
B.ln3-1C.eD.3e
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x2+ax+
b
x
-8
,且f(-2)=10则f(2)的值为(  )
A.0B.-4C.-10D.-18
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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