已知函数f（x）=a(1-2|x-12|)，a为常数且a＞0．（1）f（x）的图象关于直线x=12对称；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x

题型：解答题难度：一般来源：江西

已知函数f（x）=a(1-2|x-

1

2

|)，a为常数且a＞0．
（1）f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称；
（2）若x₀满足f（f（x₀））=x₀，但f（x₀）≠x₀，则x₀称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x₁，x₂，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x₁，x₂，和a，设x₃为函数f（f（x））的最大值点，A（x₁，f（f（x₁））），B（x₂，f（f（x₂））），C（x₃，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．

答案

（1）证明：∵f(

1

2

+x)=a(1-2|

1

2

+x-

1

2

|)=a（1-2|x|），f(

1

2

-x)=a(1-2|

1

2

-x-

1

2

|)=a（1-2|x|），
∴f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)，∴f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称．
（2）当0＜a＜

1

2

时，有f（f（x））=

4a2x，x≤ 1 2 4a2(1-x)，x＞ 1 2

．
∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
当a=

1

2

时，有f（f（x））=

x，x≤ 1 2 1-x，x＞ 1 2

．
∴f（f（x））=x有解集，{x|x≤

1

2

}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．
当a＞

1

2

时，有f（f（x））=

4a2x，x≤ 1 4a 2a-4a2x， 1 4a ＜x≤ 1 2 2a(1-2a)+4a2x， 1 2 ＜x≤ 4a-1 4a 4a2-4a2x，x＞ 4a-1 4a

，
∴f（f（x））=x有四个0，

2a

1+4a2

，

2a

1+2a

，

4a2

1+4a2

．
由f（0）=0，f(

2a

1+2a

)=

2a

1+2a

，f(

2a

1+4a2

)≠

2a

1+4a2

，f(

4a2

1+4a2

)≠

4a2

1+4a2

．
故只有

2a

1+4a2

，

4a2

1+4a2

是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为a＞

1

2

．
（3）由（2）得x1=

2a

1+4a2

，x2=

4a2

1+4a2

．
∵x₂为函数f（x）的最大值点，∴x3=

1

4a

，或x3=

4a-1

4a

．
当x3=

1

4a

时，S（a）=

2a-1

4(1+4a2)

．求导得：S^′（a）=-

2(a- 1+ 2 2 )(a- 1- 2 2 )

(1+4a2)2

．
∴当a∈(

1

2

，

1+ 2

2

)时，S（a）单调递增，当a∈(

1+ 2

2

，+∞)时，S（a）单调递减．
当x3=

4a-1

4a

时，S（a）=

8a2-6a+1

4(1+4a2)

，求导得S′(a)=

12a2+4a-3

2(1+4a2)2

．
∵a＞

1

2

，从而有S′(a)=

12a2+4a-3

2(1+4a2)2

．
∴当a∈(

1

2

，+∞)时，S（a）单调递增．