已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有f(x1)-f(x2
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已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有f(x1)-f(x2
题型:填空题
难度:简单
来源:广西一模
已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x
1
,x
2
∈[0,3],且x
1
≠x
2
时,都有
f(
x
1
)-f(
x
2
)
x
1
-
x
2
>0
.给出下列命题:
①f(3)=0;
②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;
④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为______(把所有正确命题的序号都填上)
答案
①:对于任意x∈R,都有f (x+6)=f (x)+f (3)成立,令x=-3,则f(-3+6)=f(-3)+f (3),又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0.
②:由(1)知f (x+6)=f (x),所以f(x)的周期为6,
又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x+6)=f(-x),
而f(x)的周期为6,所以f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x-6),
所以:f(-6-x)=f(-6+x),所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴.
③:当x
1
,x
2
∈[0,3],且x
1
≠x
2
时,都有
f(
x
1
)-f(
x
2
)
x
1
-
x
2
>0
所以函数y=f(x)在[0,3]上为增函数,
因为f(x)是R上的偶函数,所以函数y=f(x)在[-3,0]上为减函数
而f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在[-9,-6]上为减函数.
④:f(3)=0,f(x)的周期为6,
所以:f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0
函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.
故答案为:①②④.
举一反三
已知函数
f(x)=
(2a-1)x+7a-2(x<1)
a
x
(x≥1)
在(-∞,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为______
题型:填空题
难度:简单
|
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已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且f(2)=0,当x>0时有
x•f′(x)-f(x)
x
2
<0
,则不等式x
2
•f(x)>0的解集是( )
A.(-2,0)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-2,0)∪(0,2)
D.(-2,2)∪(2,+∞)
题型:单选题
难度:一般
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下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )
A.y=-log
2
x(x>0)
B.y=x
3
+x(x∈R)
C.y=3
x
(x∈R)
D.
y=
1
x
(x≠0)
题型:单选题
难度:简单
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已知函数
f(x)=
x-3
,x
>
0
x
2
,x≤0
,若f(a)=f(4),则实数a=( )
A.4
B.1或-1
C.-1或4
D.1,-1或4
题型:单选题
难度:一般
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已知
f(x)=2tan(x+π)-
sin
x
2
cos
x
2
2
sin
2
x
2
-1
,则f(
3
4
π
)=______.
题型:填空题
难度:一般
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