已知定义在R上函数f(x)是偶函数,对x∈R都有f(2+x)=-f(2-x),当f(-3)=-2 时,f (2007)的值为(  )A.2B.-2C.4D.-4

已知定义在R上函数f(x)是偶函数,对x∈R都有f(2+x)=-f(2-x),当f(-3)=-2 时,f (2007)的值为(  )A.2B.-2C.4D.-4

题型:单选题难度:一般来源:不详
已知定义在R上函数f(x)是偶函数,对x∈R都有f(2+x)=-f(2-x),当f(-3)=-2 时,f (2007)的值为(  )
A.2B.-2C.4D.-4
答案
∵f(2+x)=-f(2-x),
令t=2+x,则2-x=4-t
∴f(x)=-f(4-x),
∵由函数f(x)是偶函数
∴f(x)=f(-x),
∴结合两者得f(x-4)=-f(x),f(x-8)=f[(x-4)-4]=-f(x-4)=f(x),
它是周期函数,且周期为8,
∴f(2007)=f(250×8+7)=f(7)=f(-1)=f(1)
在f(2+x)=-f(2-x)中,令x=1,得f(3)=-f(1)=-2,
∴f(1)=2,即f(2007)=2
故选A.
举一反三
已知函数f(x)=





(3a-2)x+6a-1(x<1)
ax,(x≥1)
在(-∞,+∞)上单调递减,那么实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





x2+x+4
x
(x>0)
-
x2-x+4
x
(x<0)

(Ⅰ)求证:函数f(x)是偶函数;
(Ⅱ)判断函数f(x)分别在区间(0,2],[2,+∞)上的单调性,并加以证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数y=f(x)是定义在R上的函数,且图象关于点(0,1)对称;函数y=g(x)是函数y=f(x)的反函数,则g(a)+g(2-a)的值为(  )
A.2B.-2
C.0D.随a的取值而变化
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f (x )=
x+a
x+2
(a为常数).
(1)解不等式f(x-2)>0;
(2)当x∈[-1,2]时,f (x)的值域为[
5
4
,2],求a的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是单调递减的,且f(1)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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