设实数a≠0,函数f(x)=a(x2+1)-(2x+1a)有最小值-1.(1)求a的值;(2)设数列{an}的前n项和Sn=f(n),令bn=a2+a4+…+a
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设实数a≠0,函数f(x)=a(x2+1)-(2x+1a)有最小值-1.(1)求a的值;(2)设数列{an}的前n项和Sn=f(n),令bn=a2+a4+…+a
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设实数a≠0,函数f(x)=a(x
2
+1)-(2x+
1
a
)有最小值-1.
(1)求a的值;
(2)设数列{a
n
}的前n项和S
n
=f(n),令b
n
=
a
2
+
a
4
+…+
a
2n
n
,证明:数列{b
n
}是等差数列.
答案
(1)∵f(x)=a(x-
1
a
)
2
+a-
2
a
,由已知知f(
1
a
)=a-
2
a
=-1,且a>0,解得a=1,a=-2(舍去).
(2)证明:由(1)得f(x)=x
2
-2x,
∴S
n
=n
2
-2n,a
1
=S
1
=-1.
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=n
2
-2n-(n-1)
2
+2(n-1)=2n-3,a
1
满足上式即a
n
=2n-3.
∵a
n+1
-a
n
=2(n+1)-3-2n+3=2,
∴数列{a
n
}是首项为-1,公差为2的等差数列.
∴a
2
+a
4
+…+a
2n
=
n(
a
2
+
a
2
n
)
2
=
n(1+4n-3)
2
=n(2n-1),
即b
n
=
n(2n-1)
n
=2n-1.
∴b
n+1
-b
n
=2(n+1)-1-2n+1=2.
又b
2
=
a
2
1
=1,
∴{b
n
}是以1为首项,2为公差的等差数列.
举一反三
函数f(x)=x
n
+(1-x)
n
,x∈(0,1),n∈N
*
.记y=f(x)的最小值为a
n
,则a
1
+a
2
+…+a
6
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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题型:填空题
难度:一般
|
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定义运算
a*b=
a(a≥b)
b(a<b)
,则函数f(x)=(2x+3)*
x
2
的最小值是______.
题型:填空题
难度:一般
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直线AB过抛物线y
2
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题型:填空题
难度:一般
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5
-5x
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C.
y=
1-
2
x
1+
2
x
D.
y=
x
-1
题型:单选题
难度:简单
|
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