已知:函数f(x)=x3+px2+9qx+p+q+3 (x∈R)的图象关于原点对称,其中p,q是实常数.(1)求p,q的值;(2)确定函数f(x)在区间[-3,
题型:解答题难度:一般来源:虹口区一模
已知:函数f(x)=x3+px2+9qx+p+q+3 (x∈R)的图象关于原点对称,其中p,q是实常数. (1)求p,q的值; (2)确定函数f(x)在区间[-3,3]上的单调性; (3)若当-3≤x≤3时,不等式f(x)≥10sint-49恒成立,求实数t的取值范围. |
答案
(1)由f(-x)=-f(x),得2px2+2(p+q+3)=0恒成立,∴p=0,q=-3. (2)f(x)=x3-27x,取-3≤x1<x2≤3,则x12+x1x2+x22<27. ∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-27)>0,f(x)在[-3,3]为减函数. (3)由(2)知f(x)在区间[-3,3]上的最小值为f(3)=-54, ∴只需f(3)=-54≥10sint-49, 由sint≤-,得t∈[2kπ-,2kπ-](k∈Z). |
举一反三
已知a,b为实数,并且e<a<b,其中e是自然对数的底,证明ab>ba. |
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等. (1)求a的值; (2)求函数f(x)+g(x)的单调递增区间; (3)若n为正整数,证明:10f( n )•( )g( n )<4. |
已知函数f(x)=1+x-+-+…+,g(x)=1-x+-+-…-,设函数F(x)=f(x+3)•g(x-4),且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z内,则b-a的最小值为( ) |
(j00j•福建)已知非负实数x,y满足+=1,则非负实数x+y满足的最大值为______. |
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