∵f(x)=1+x-+-+…+, ∴f′(x)=(1-x)+(x2-x3)+…+x2012 =(1-x)(1+x2+x4+…+x2010)+x2012 当x=-1时,f′(x)=2×1006+1=2013>0, 当x≠-1时,f′(x)=(1-x)(1+x2+x4+…+x2010)+x2012 =(1-x)•+x2012 =>0, ∴f(x)=1+x-+-+…+在R上单调递增; 又f(0)=1, f(-1)=----…-<0, ∴f(x)=1+x-+-+…+在(-1,0)上有唯一零点, 由-1<x+3<0得:-4<x<-3, ∴f(x+3)在(-4,-3)上有唯一零点. ∵g(x)=1-x+-+-…-, ∴g′(x)=(-1+x)+(-x2+x3)+…-x2012 =-[(1-x)+(x2-x3)+…+x2012] =-f′(x)<0, ∴g(x)在R上单调递减; 又g(1)=(-)+(-)+…+(-)>0, g(2)=-1+(-)+(-)+…+(-), ∵n≥2时,-=<0, ∴g(2)<0. ∴g(x)在(1,2)上有唯一零点, 由1<x-4<2得:5<x<6, ∴g(x-4)在(5,6)上有唯一零点. ∵函数F(x)=f(x+3)•g(x-4), ∴F(x)的零点即为f(x+3)和g(x-4)的零点. ∴F(x)的零点区间为(-4,-3)∪(5,6). 又b,a∈Z, ∴(b-a)min=6-(-4)=10. 故选C. |