已知:函数f(x)=x2+2x+ax,x∈[1,+∞],(1)当a=-1时,判断并证明函数的单调性并求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)
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已知:函数f(x)=x2+2x+ax,x∈[1,+∞],(1)当a=-1时,判断并证明函数的单调性并求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知:函数f(x)=
x
2
+2x+a
x
,x∈[1,+∞],
(1)当a=-1时,判断并证明函数的单调性并求f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0都成立,试求实数a的取值范围.
答案
(1)当a=-1时f(x)=
x
2
+2x-1
x
=x-
1
x
+2
f′(x)=1+
1
x
2
>0,x∈[1,+∞],所以f(x)在x∈[1,+∞]上是增函数,
所以x=1时f(x)取最小值,最小值为2
(2)若对任意x∈[1,+∞]f(x)>0恒成立,则
x
2
+2x+a
x
>0对任意x∈[1,+∞]恒成立,所以x
2
+2x+a>0对任意x∈[1,+∞]恒成立,令g(x)=x
2
+2x+a,x∈[1,+∞],
因为g(x)=x
2
+2x+a在∈[1,+∞],上单调递增,
所以x=1时g(x)取最小值,最小值为3+a,
∵3+a>0,∴a>-3.
举一反三
已知函数
f(x)=
cosx,(x≥0)
f(x+π),(x<0)
,则
f(-
4π
3
)
的值为( )
A.
1
2
B.
3
2
C.
-
1
2
D.
-
3
2
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)的定义域为[0,1],且同时满足:①f(1)=4;②若x∈[0,1],都有f(x)≥3;③若x
1
≥0,x
2
≥0,x
1
+x
2
≤1,都有f(x
1
+x
2
)≥f(x
1
)+f(x
2
)-3.
(1)求f(0)的值;
(2)当x∈(
1
3
,1]时,求证:f(x)<3x+3.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知
f(x)=lo
g
2
x+1
x
(x≠0).求
(1)f(-2)+f(1)的值.
(2)
f(-2)+f(-
3
2
)+f(
1
2
)+f(1)
的值.
(3)通过这些值你能做出什么猜想?试证明你的猜想.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知:函数f(x)=ax
2
+2bx(a,b∈R
+
)
(1)若a=b=1,求:不等式log
2
f(x)≤3;
(2)若f(1)=1,求:
1
a
+
1
b
的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)对任意正数x都有
f(x)=f(
1
x
)lgx+1
成立,则f(1)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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