已知：函数f（x）=ax2+2bx（a，b∈R+）（1）若a=b=1，求：不等式log2f（x）≤3；（2）若f（1）=1，求：1a+1b的最小值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知：函数f（x）=ax²+2bx（a，b∈R⁺）
（1）若a=b=1，求：不等式log₂f（x）≤3；
（2）若f（1）=1，求：

1

a

+

1

b

的最小值．

答案

（1）当a=b=1时，f（x）=x²+2x
则：log₂f（x）≤3⇔log₂（x²+2x）≤log₂8
⇔

x2+2x＞0 x2+2x≤8

⇒

x＜-2或x＞0 -4≤x≤2

⇒-4≤x＜-2或0＜x≤2；
（2）当f（1）=1时，有a+2b=1
则：

1

a

+

1

b

=

a+2b

a

+

a+2b

b

=3+

2b

a

+

a

b

∵a，b∈R⁺，∴

2b

a

+

a

b

≥2

2

当且仅当

2b

a

=

a

b

，即：a=

2

b等号成立
∴

1

a

+

1

b

=3+

2b

a

+

a

b

≥3+2

2

即：(

1

a

+

1

b

)min=3+2

2

．