已知函数f(x)=1a-1x(a>0,x>0).(1)若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围;(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](
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已知函数f(x)=1a-1x(a>0,x>0).(1)若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围;(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
1
a
-
1
x
(a>0,x>0).
(1)若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求a的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=
1
a
-
1
x
,f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立,且a>0,
∴转化为a≥
x
2x
2
+1
=
1
2x+
1
x
在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=
x
2x
2
+1
=
1
2x+
1
x
(当且仅当2x=
1
x
即x=
2
2
时取等号),
即g(x)≤
1
2
2
=
2
4
要使a≥
x
2x
2
+1
=
1
2x+
1
x
(0,+∞)上恒成立,则a≥
2
4
,
故a的取值范围是[
2
4
,+∞).
(2)任取x
1
>x
2
>0,
f(x
1
)-f(x
2
)=
1
a
+
1
x
1
-(
1
a
+
1
x
2
)=
x
1
-
x
2
x
1
x
2
<0,
故f(x)在(0,+∞)上是增函数.
∵f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n)
∴m=f(m),n=f(n),即am
2
-m+a=0,an
2
-n+a=0.
故方程ax
2
+x+a=0有两个不相等的正根m,n,
注意到m•n=1,则只需要△=(1)
2
-4a
2
>0,由于a>0,则0<a<
1
2
.
故(1)的答案为
[
2
4
,+∞)
(2)的答案为0<a<
1
2
举一反三
已知函数f(x)=a-
2
e
x
+1
在R上是奇函数.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)判断并证明f(x)在R上的单调性.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
y=
4x-
x
2
的单调递减区间为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数
f(x)=
x-4(x≥4)
f(x+3)(x<4)
,则f[f(-1)]=______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )
A.y=3-x
B.y=x
2
+1
C.
y=
1
x
D.y=-|x|
题型:单选题
难度:一般
|
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利用定义判断函数f(x)=x
2
-1在区间(-∞,0)上的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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