已知b、c是实数，函数f（x）=x2+bx+c对任意α、β∈R有f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0．（1）求f（1）的值；（2）证明：c≥3．
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知b、c是实数，函数f（x）=x2+bx+c对任意α、β∈R有f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：c≥3． |
答案
（1）对任意α，β∈R，有-1≤sinα≤1，1≤2+cosβ≤3．
因为f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0，
所以f（1）≥0且f（1）≤0，
所以，f（1）=0． …（2分）
（2）证明：因为f（1）=0，所以1+b+c=0，即b=-1-c．
因为1≤2+cosβ≤3，f（2+cosβ）≤0，
所以f（3）≤0．
即32+3b+c≤0，有9+3（-l-c）+c≤0，
所以，c≥3． …（4分） |
举一反三
已知函数f（x）=x+（a＞0）．
（I）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（II）若a=4，证明：函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数． |
已知矩形ABCD的周长为l，面积为a．
（1）当l=4时，求面积a的最大值；
（2）当a=4时，求周长l的最小值． |
已知函数f(x)=loga(a＞1)是奇函数，
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并运用单调性的定义予以证明． |
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