给出下列命题:①如果函数f(x)对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数f(x)在R上是减函数;②如果函数
题型:填空题难度:一般来源:不详
给出下列命题: ①如果函数f(x)对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数f(x)在R上是减函数; ②如果函数f(x)对任意的x∈R,都满足f(x)=-f(2+x),那么函数f(x)是周期函数; ③函数y=f(x)与函数y=f(x+1)-2的图象一定不能重合; ④对于任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时,f′(x)>g′(x). 其中正确的命题是 ______.(把你认为正确命题的序号都填上) |
答案
(1)由题意可知, 对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2, 当x1>x2时, f(x1)<f(x2), 当x1<x2时, f(x1)>f(x2), 可知函数随着x的递增而递减,递减而递增, 因而可知函数f(x)在R上是减函数,故此命题正确; (2)由题意知f(x)=-f(2+x), 因而可知f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 因而可知函数的周期为4,故此命题正确. (3)根据函数的平移, 可知函数y=f(x+1)-2先向左平移1个单位,再向上平移2个单位, 存在函数f(x)=2x使得图象可以重合,故此命题错误. (4)由f(-x)=-f(x) 且x>0时,f′(x)>0, 知函数f(x)关于原点中心对称且单调递增, 由g(-x)=g(x) 且x>0时,g′(x)>0, 可知函数g(x)关于y轴对称且先单调递增后单调递减, 因此可判断出x<0时,f′(x)>g′(x),故此命题正确, 故答案为:①②④. |
举一反三
已知函数f(x)=log2,(x∈(-∞,-)∪(,+∞)) (1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数f(x)在区间(,+∞)上的单调性. |
求函数y=在区间[3,6]上的最大值______和最小值______. 变式练习:y=,x∈[3,6]上的最大值______和最小值______. 探究:y=的图象与y=的关系______. |
若函数f(x)=,则f[f(4)]=______. |
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