已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1),求证:(1)函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;(2)方程f(x)=0没有负数根.
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已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1),求证:(1)函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;(2)方程f(x)=0没有负数根.
题型:解答题
难度:一般
来源:东城区二模
已知函数
f(x)=
a
x
+
x-2
x+1
(a>1),求证:
(1)函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)方程f(x)=0没有负数根.
答案
证明:(1)设-1<x
1
<x
2
,
则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
a
x
1
+
x
1
-2
x
1
+1
-
a
x
2
-
x
2
-2
x
2
+1
=
a
x
1
-
a
x
2
+
x
1
-2
x
1
+1
-
x
2
-2
x
2
+1
=
a
x
1
-
a
x
2
+
3(
x
1
-
x
2
)
(
x
1
+1)(
x
2
+1)
,
∵-1<x
1
<x
2
,∴x
1
+1>0,x
2
+1>0,x
1
-x
2
<0,
∴
3(
x
1
-
x
2
)
(
x
1
+1)(
x
2
+1)
<0
;
∵-1<x
1
<x
2
,且a>1,∴
a
x
1
<
a
x
2
,∴
a
x
1
-
a
x
2
<0
,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)假设x
0
是方程f(x)=0的负数根,且x
0
≠-1,则
a
x
0
+
x
0
-2
x
0
+1
=0
,
即
a
x
0
=
2-
x
0
x
0
+1
=
3-(
x
0
+1)
x
0
+1
=
3
x
0
+1
-1
,①
当-1<x
0
<0时,0<x
0
+1<1,∴
3
x
0
+1
>3
,
∴
3
x
0
+1
-1>2
,而由a>1知
a
x
0
<1
.∴①式不成立;
当x
0
<-1时,x
0
+1<0,∴
3
x
0
+1
<0
,∴
3
x
0
+1
-1<-1
,而
a
x
0
>0
.
∴①式不成立.综上所述,方程f(x)=0没有负数根.
举一反三
若∀x∈R,f(x)=(a
2
-1)
x
是单调减函数,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数y=e
x
-x的最小值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设f(x)=x
2
(2-x),则f(x)的单调增区间是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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给出封闭函数的定义:若对于定义域D内的任意一个自变量x
0
,都有函数值f(x
0
)∈D,则称函数y=f(x)在D上封闭.若定义域D=(0,1),则函数①f
1
(x)=3x-1;②f
2
(x)=-
1
2
x
2
-
1
2
x+1;③f
3
(x)=1-x;④f
4
(x)=x,其中在D上封闭的是______.(填序号即可)
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
-(a+2)x+alnx(a∈R).
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若a=4,y=f(x)的图象与直线y=m有三个交点,求m的取值范围(其中自然对数的底数e为无理数且e=2.271828…)
题型:解答题
难度:一般
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