已知f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对于任意的x,y∈R都满足f(x)•f(y)=f(x+y).(1)求f(0)的值,并证明对任意的x∈R,有f(x)>
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对于任意的x,y∈R都满足f(x)•f(y)=f(x+y). (1)求f(0)的值,并证明对任意的x∈R,有f(x)>0; (2)设当x<0时,都有f(x)>f(0),证明:f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. |
答案
(1)可得f(0)•f(0)=f(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 又对于任意x∈R, f(x)=f(+)=[f()]2≥0又f()≠0,∴f(x)>0 (2)设x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1] ∵x1-x2<0 ∴f(x1-x2)>f(0)=1 ∴f(x1-x2)-1>0 对f(x2)>0 ∴f(x2)f[(x1-x2)-1]>0 ∴f(x1)>f(x2)故f(x)在R上是减函数 |
举一反三
已知函数f(x)=logm(其中m>0,m≠1), (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)证明:函数f(x)具有性质:f(x)+f(y)=f(); (3)若f()=1,f()=2,且|a|<1,|b|<1,求f(a),f(b)的值. |
已知==,且x+y+z=100,求x+2y+3z=______. |
设f(x)是定义在实数集R上的函数且满足f(x+2)=f(x+1)-f(x).已知f(1)=lg,f(2)=lg15. (1)通过计算f(3),f(4),…,由此猜测函数的周期T,并据周期函数的定义给出证明; (2)求f(2009)的值. |
已知分段函数f(x)=,则f(-1)=______. |
已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,则a的取值范围是______. |
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