已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设M为椭圆上

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设M为椭圆上

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF1为半径作圆M,当圆M与直线l:x=
a2
c
有公共点时,求△MF1F2面积的最大值.
答案
(1)因为2c=2,且
c
a
=
1
2
,所以c=1,a=2.
所以b2=3.
所以椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)设点M的坐标为(x0,y0),
x20
4
+
y20
3
=1

因为F1(-1,0),
a2
c
=4

所以直线l的方程为x=4.
由于圆M与l有公共点,
所以M到l的距离4-x0小于或等于圆的半径R.
因为R2=MF12=(x0+1)2+y02
所以(4-x02≤(x0+1)2+y02
即y02+10x0-15≥0.
又因为
y20
=3(1-
x20
4
)

所以3-
3
x20
4
+10x0-15≥0

解得
4
3
x0≤12
.又
x20
4
+
y20
3
=1
,∴
4
3
x0<2

x0=
4
3
时,|y0|=


15
3

所以(S△MF1F2)max=
1
2
×2×


15
3
=


15
3
举一反三
已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0,其中,ab≠0,a≠b,c>0,它们所表示的曲线可能是下列图象中的(  )
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A.B.C.D.
椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且这个焦点到长轴上较近的端点的距离是


10
-


5
,则此椭圆的方程是:______.
已知△ABC的周长是16,A(-3,0),B(3,0),则动点C的轨迹方程是(  )
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A.B.(y≠0)
C.D.(y≠0)
椭圆(m<-2,或m>2)的焦距是(  )
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A.4B.2C.8D.与m有关
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为


3
2
,左,右焦点分别为F1,F2,点G在椭圆上,


GF1


GF2
,且△GF1F2的面积为3,则椭圆的方程为______.