若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M.当x∈M时,求f(x)=2x+2-3×4x的最值及相应的x的值.

若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M.当x∈M时,求f(x)=2x+2-3×4x的最值及相应的x的值.

题型:解答题难度:一般来源:不详
若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M.当x∈M时,求f(x)=2x+2-3×4x的最值及相应的x的值.
答案
y=lg(3-4x+x2),
∴3-4x+x2>0,
解得x<1或x>3,
∴M={x|x<1,或x>3},
f(x)=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x2
令2x=t,
∵x<1或x>3,
∴t>8或0<t<2.
∴f(t)=4t-3t2=-3t2+4t(t>8或0<t<2).
由二次函数性质可知:
当0<t<2时,f(t)∈(-4,
4
3
],
当t>8时,f(x)∈(-∞,-160),
当2x=t=
2
3
,即x=log2
2
3
时,f(x)max=
4
3

综上可知:当x=log2
2
3
时,f(x)取到最大值为
4
3
,无最小值.
举一反三
已知函数f(x)=x3+2x,x∈R,若不等式f(mcosθ)+f(m-sinθ)≥0,当θ∈[0,
π
2
]
时恒成立,则实数m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=x2+2x在[-4,3]上的最大值为 ______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
对于函数①f(x)=|x+2|,②f(x)=|x-2|,③f(x)=cos(x-2),判断如下两个命题的真假:命题甲:f(x+2)是偶函数;命题乙:f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数;能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 ______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=
ax2+bx+1
x+c
(a>0)
为奇函数,且|f(x)|min=2


2
,数列{an}与{bn}满足如下关系:a1=2,an+1=
f(an)-an
2
bn=
an-1
an+1
.

(1)求f(x)的解析式;
(2)求数列{bn}的通项公式bn
(3)记Sn为数列{an}的前n项和,求证:对任意的n∈N*Sn<n+
3
2
.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数.
(1)证明:对任意的x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0
(2)解不等式f(1-a)+f(1-a2)<0.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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