已知a为实数,f(x)=a-22x+1(x∈R).(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;(2)当f(x)是奇函数时,若方程f-1(
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已知a为实数,f(x)=a-22x+1(x∈R).(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;(2)当f(x)是奇函数时,若方程f-1(
题型:解答题
难度:一般
来源:宝山区一模
已知a为实数,
f(x)=a-
2
2
x
+1
(x∈R)
.
(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)当f(x)是奇函数时,若方程f
-1
(x)=log
2
(x+t)总有实数根,求实数t的取值范围.
答案
(1)设x
1
>x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=-
2
2
x
1
+1
+
2
2
x
2
+1
∴x
1
>x
2
,
∴
2
x
1
>
2
x
2
∴
2
2
x
1
+1
<
2
2
x
2
+1
∴f(x
1
)-f(x
2
)=-
2
2
x
1
+1
+
2
2
x
2
+1
>0
∴f(x
1
)>f(x
2
)
∴函数f(x)在定义域上为增函数.
(2)因为f(x)是R上的奇函数,所以
f(0)=a-
2
2
0
+1
=0
,
即a=1.
f
-1
(x)=lo
g
2
1+x
1-x
(-1<x<1)
由
lo
g
2
1+x
1-x
=lo
g
2
(x+t)
得
t=(1-x)+
2
1-x
-2≥2
2
-2
当且仅当
1-x=
2
1-x
,即
x=1-
2
时等号成立,
所以,t的取值范围是
[2
2
-2,+∞)
.
举一反三
已知函数
f(x)=
x
2
(x≥0)
-2x+3 (x<0)
,若f(x)=9,则x=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知y=f(x)是R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0]上是增函数,若f(a)≥f(2),则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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给出集合A={-2,-1,
-
1
2
,
-
1
3
,
1
2
,1,2,3}.已知a∈A,使得幂函数f(x)=x
a
为奇函数;指数函数g(x)=a
x
在区间(0,+∞)上为增函数.
(1)试写出所有符合条件的a,说明理由;
(2)判断f(x)在(0,+∞)的单调性,并证明;
(3)解方程:f[g(x)]=g[f(x)].
题型:解答题
难度:一般
|
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(理)已知函数
f(x)=2+
1
a
-
1
a
2
x
,实数a∈R且a≠0.
(1)设mn>0,判断函数f(x)在[m,n]上的单调性,并说明理由;
(2)设0<m<n且a>0时,f(x)的定义域和值域都是[m,n],求n-m的最大值;
(3)若不等式|a
2
f(x)|≤2x对x≥1恒成立,求a的范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=|3-5x|的单调增区间是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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