(1)设m≤x1<x2≤n,则f(x1)-f(x2)=-+=, ∵mn>0,m≤x1<x2≤n,∴x1x2>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),因此函数f(x)在[m,n]上的单调递增. (2)由(1)及f(x)的定义域和值域都是[m,n]得f(m)=m,f(n)=n, 因此m,n是方程2+-=x的两个不相等的正数根, 等价于方程a2x2-(2a2+a)x+1=0有两个不等的正数根, 即△=(2a2+a)2-4a2>0且x1+x2=>0且x1x2=>0, 解得a>,∴n-m==, ∵a∈(,+∞),∴a=时,n-m最大值为. (3)a2f(x)=2a2+a-,则不等式|a2f(x)|≤2x对x≥1恒成立, 即-2x≤2a2+a-≤2x即不等式对x≥1恒成立, 令h(x)=2x+,易证h(x)在[1,+∞)递增,同理g(x)=-2x[1,+∞)递减. ∴h(x)min=h(1)=3,g(x)max=g(1)=-1, ∴∴-≤a≤1且a≠0 |