判断函数f(x)=x-1x 的奇偶性,单调性,并利用定义证明.
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判断函数f(x)=x-1x 的奇偶性,单调性,并利用定义证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
判断函数f(x)=x-
1
x
的奇偶性,单调性,并利用定义证明.
答案
函数的定义域为:x∈(-∞,0)∪(0,+∞)
f(-x)=-x+
1
x
=-f(x),函数是奇函数;
任取x
1
<x
2
<0,f(x
1
)-f(x
2
)=( x
1
-
1
x
1
)-(x
2
-
1
x
2
)
=
(x
1
x
2
+1)(x
1
-x
2
)
x
1
x
2
<0,即
因为x
1
<x
2
<0,所以f(x
1
)<f(x
2
),函数在(-∞,0)上是增函数
同样方法证明,当x
2
>x
1
>0时,f(x
2
)>f(x
1
),函数在(0,+∞)上是增函数
综上所述,当x≠0时,函数的单调增区间是(-∞,0)和(0,+∞).
举一反三
设函数
f(x)=x+
a
x+1
, x∈[0,+∞)
.
(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
bx+c
ax
2
+1
(a,c∈R,a>0,b
是自然数)是奇函数,f(x)有最大值
1
2
,且
f(1)>
2
5
,试求函数f(x)的解析式.
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|
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函数
f(x)=x+
1
x
的图象为C
1
,C
1
关于点A(2,1)的对称图形为C
2
,C
2
对应的函数为g(x):
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)若直线y=b与C
2
只有一个公共点,求b的值及交点坐标.
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难度:一般
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已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x∈R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.
(Ⅰ)求证:f(x)是周期函数.
(Ⅱ)已知f(-4)=2,求f(2012).
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=f(x)对于x>0有意义,且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数.
(1)证明:f(1)=0;
(2)若f(x)+f(x-3)≥2成立,求x的取值范围.
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|
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