设函数f(x)=x+ax+1, x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.
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设函数f(x)=x+ax+1, x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:徐汇区一模
设函数
f(x)=x+
a
x+1
, x∈[0,+∞)
.
(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.
答案
(1)当a=2时,
f(x)=x+
2
x+1
=x+1+
2
x+1
-1
.(2分)
≥2
2
-1
.(4分)
当且仅当
x+1=
2
x+1
,即
x=
2
-1
时取等号,
∴
f(x
)
min
=2
2
-1
.(6分)
(2)当0<a<1时,任取0≤x
1
<x
2
f(
x
1
)-f(
x
2
)=(
x
1
-
x
2
)[1-
a
(
x
1
+1)(
x
2
+1)
]
.(8分)
∵0<a<1,(x
1
+1)(x
2
+1)>1,
∴
1-
a
(
x
1
+1)(
x
2
+1)
>0
.(10分)
∵x
1
<x
2
,∴f(x
1
)<f(x
2
),即f(x)在[0,+∞)上为增函数.(12分)
举一反三
已知函数
f(x)=
bx+c
ax
2
+1
(a,c∈R,a>0,b
是自然数)是奇函数,f(x)有最大值
1
2
,且
f(1)>
2
5
,试求函数f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
f(x)=x+
1
x
的图象为C
1
,C
1
关于点A(2,1)的对称图形为C
2
,C
2
对应的函数为g(x):
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)若直线y=b与C
2
只有一个公共点,求b的值及交点坐标.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x∈R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.
(Ⅰ)求证:f(x)是周期函数.
(Ⅱ)已知f(-4)=2,求f(2012).
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=f(x)对于x>0有意义,且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数.
(1)证明:f(1)=0;
(2)若f(x)+f(x-3)≥2成立,求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)=x
2
+2(a-1)x+2在(-∞,4]是单调减函数时,a的取值范围______.
题型:填空题
难度:一般
|
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