已知函数f(x)=bx+cax2+1(a,c∈R,a>0,b是自然数)是奇函数,f(x)有最大值12,且f(1)>25,试求函数f(x)的解析式.
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已知函数f(x)=bx+cax2+1(a,c∈R,a>0,b是自然数)是奇函数,f(x)有最大值12,且f(1)>25,试求函数f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
bx+c
ax
2
+1
(a,c∈R,a>0,b
是自然数)是奇函数,f(x)有最大值
1
2
,且
f(1)>
2
5
,试求函数f(x)的解析式.
答案
由f(x)为奇函数得f(-x)+f(x)=0,即
bx+c
ax
2
+1
+
-bx+c
ax
2
+1
=0,
∴c=0.
又a>0,b是自然数,
∴当x<0时,f(x)<0,
当x>0时,f(x)>0,
故f(x)的最大值
1
2
必在x>0时取得;
当x>0时,f(x)=
bx
ax
2
+1
=
b
ax+
1
x
≤
b
2
a
,
当且仅当ax=
1
x
,即x=
1
a
时取得
b
2
a
=
1
2
,即a=b
2
,
又f(1)>
2
5
,
∴
b
b
2
+1
>
2
5
,
∴2b
2
-5b+2<0,即(2b-1)(b-2)<0,
∴
1
2
<b<2 又a>0,b是自然数可得a=b=1,
∴f(x)=
x
x
2
+1
.
举一反三
函数
f(x)=x+
1
x
的图象为C
1
,C
1
关于点A(2,1)的对称图形为C
2
,C
2
对应的函数为g(x):
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)若直线y=b与C
2
只有一个公共点,求b的值及交点坐标.
题型:解答题
难度:一般
|
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题型:解答题
难度:一般
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(2)若f(x)+f(x-3)≥2成立,求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
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2
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题型:填空题
难度:一般
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如果二次函数y=3x
2
+2(a-1)x+b在区间(-∞,1]上是减函数,那么a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
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