已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实数a不为零),且同时满足下列条件:(1)f(-1)=0;(2)对于任意的实数x,都有f(x)-x≥0;(3
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实数a不为零),且同时满足下列条件:(1)f(-1)=0;(2)对于任意的实数x,都有f(x)-x≥0;(3
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a,b,c为实数a不为零),且同时满足下列条件:
(1)f(-1)=0;
(2)对于任意的实数x,都有f(x)-x≥0;
(3)当x∈(0,2)时有
f(x)≤(
x+1
2
)
2
.
①求f(1);
②求a,b,c的值;
③当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(m∈R)是单调函数,求m的取值范围.
答案
(1)当x=1时,由 f(1)-1≥0,且
f(1)≤
(
1+1
2
)
2
=1,∴f(1)=1.
(2)设二次函数为f(x)=ax
2
+bx+c,由f(-1)=0可得a-b+c=0,
而f(1)=1,∴
a+b+c=1,解得b=
1
2
,a+c=
1
2
.
又f(x)-x≥0,∴ax
2
+bx+c-x≥0,化简得 ax
2
+(b-1)x+c≥0,
∴a>0且(b-1)
2
-4ac≤0,把
b=
1
2
,a+c =
1
2
,代入化简可得
(a-
1
4
)
2
≤ 0
,
∴
a=
1
4
,c=
1
4
.
(3)由上可得 f(x)=
1
4
x
2
+
1
2
x+
1
4
,∴
g(x)=f(x)-mx=
1
4
x
2
+
1
2
x+
1
4
-mx=
1
4
x
2
+(
1
2
-m)x+
1
4
,
因为函数g(x)在[-1,1]上单调可知,-
1
2
-m
2×
1
4
≤-1,或-
1
2
-m
2×
1
4
≥1,
解得m≤0,或m≥1.故m的取值范围是{m|m≤0,或m≥1}.
举一反三
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足对任意的x>0,y>0,f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1.当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(9)的值
(2)判断f(x)的单调性,并加以证明
(3)解不等式f(x)+f(x-8)<2.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且(x-1)f"(x)>0,若
a=f(0),b=f(
1
2
),c=f(3)
,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.c>a>b
C.b>a>c
D.c>b>a
题型:单选题
难度:简单
|
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已知定义在R上的单调递增的函数f(x),满足f(2-a
2
)>f(a)则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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函数
y=lo
g
1
2
x
2
+2x-3
的单调递减区间是 ______.
题型:填空题
难度:简单
|
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若
f(x)=
x
1-x
,则f(-3)等于 ______.
题型:填空题
难度:简单
|
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