已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)<0.又f(1)=-2.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)求函数f(
题型:解答题难度:一般来源:宣威市模拟
已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)<0.又f(1)=-2. (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)求函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值; (3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4. |
答案
(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0…1′ 取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立∴f(x)为奇函数.…3′ (2)任取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,…4′ ∴f(x2)<-f(-x1), 又f(x)为奇函数∴f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴对任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3)…6′ 而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6, ∴f(-3)=-f(3)=6,∴f(x)在[-3,3]上的最大值为6…8′ (3)∵f(x)为奇函数,∴整理原式得 f(ax2)+f(-2x)<f(ax)+f(-2), 进一步得f(ax2-2x)<f(ax-2), 而f(x)在(-∞,+∞)上是减函数, ∴ax2-2x>ax-2…10′∴(ax-2)(x-1)>0. ∴当a=0时,x∈(-∞,1) 当a=2时,x∈{x|x≠1且x∈R} 当a<0时,x∈{x|<x<1} 当0<a<2时,x∈{x|x>或x<1} 当a>2时,x∈{x|x<或x>1}…12′ |
举一反三
已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f(f())的值是______. |
函数y=lg(4+3x-x2)的单调增区间为______. |
已知函数y=f(x)的定义域是(-∞,+∞),考察下列四个结论: ①若f(-1)=f(1),则f(x)是偶函数; ②若f(-1)<f(1),则f(x)在区间[-2,2]上不是减函数; ③若f(-1)•f(1)<0,则方程f(x)=0在区间(-1,1)内至少有一个实根; ④若|f(x)|=|f(-x)|,x∈R,则f(x)是奇函数或偶函数. 其中正确结论的序号是 ______(填上所有正确结论的序号) |
f(x)是定义在R上的函数,对x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(-1)=2. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)是R上的减函数; (3)求f(x)在[-2,4]上的最值. |
已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数,如果存在实数m、n使得h (x)=m f(x)+ng(x),那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.设f (x)=x2+ax,g(x)=x+b(a,b∈R),l(x)=2x2+3x-1,h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数. (Ⅰ)设a=1,b=2,若h (x)为偶函数,求h(); (Ⅱ)设b>0,若h (x)同时也是g(x)、l(x)在R上生成的一个函数,求a+b的最小值; (Ⅲ)试判断h(x)能否为任意的一个二次函数,并证明你的结论. |
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