f(x)是定义在R上的函数,对x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(-1)=2.(1)求证:f(x)为奇函数;(2)求
题型:解答题难度:一般来源:不详
f(x)是定义在R上的函数,对x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(-1)=2. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)是R上的减函数; (3)求f(x)在[-2,4]上的最值. |
答案
证明:(1)f(x)的定义域为R, 令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0, 令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),∴f(-x)+f(x)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)设x2>x1, 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1), ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1), ∴f(x)在R上为减函数. (3)∵f(-1)=2,∴f(-2)=f(-1)+f(-1)=4, 又f(x)为奇函数,∴f(2)=-f(-2)=-4, ∴f(4)=f(2)+f(2)=-8, ∵f(x)在[-2,4]上为减函数, ∴f(x)max=f(-2)=4,f(x)min=f(4)=-8. |
举一反三
已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数,如果存在实数m、n使得h (x)=m f(x)+ng(x),那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.设f (x)=x2+ax,g(x)=x+b(a,b∈R),l(x)=2x2+3x-1,h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数. (Ⅰ)设a=1,b=2,若h (x)为偶函数,求h(); (Ⅱ)设b>0,若h (x)同时也是g(x)、l(x)在R上生成的一个函数,求a+b的最小值; (Ⅲ)试判断h(x)能否为任意的一个二次函数,并证明你的结论. |
已知定义在R的奇函数f(x),在[0,+∞)上单调递减,且f(2-a)+f(1-a)<0,则a的取值范围是( )A.(,2] | B.(,+∞) | C.[1,) | D.(-∞,) |
|
给出下列四个函数:①f(x)=x+1,=2 ②f(x)=,③f(x)=x2,④f(x)=sinx,其中在(0,+∞)是增函数的有( ) |
已知函数f(x)=(2x-2-x)m+(x3+x)n+x2-1(x∈R) (1)求证:函数g(x)=f(x)-x2+1是奇函数; (2)若f(2)=8,求f(-2)的值. |
对于函数f(x),定义域为D,若存在x0∈D使f(x0)=x0,则称(x0,x0)为f(x)的图象上的不动点. 由此,函数f(x)=的图象上不动点的坐标为 ______. |
最新试题
热门考点