已知函数f(x)=(2x-2-x)m+(x3+x)n+x2-1(x∈R)(1)求证:函数g(x)=f(x)-x2+1是奇函数;(2)若f(2)=8,求f(-2)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=(2x-2-x)m+(x3+x)n+x2-1(x∈R) (1)求证:函数g(x)=f(x)-x2+1是奇函数; (2)若f(2)=8,求f(-2)的值. |
答案
(1)证明:由题意知,g(x)=f(x)-x2+1=(2x-2-x)m+(x3+x)n,x∈R 设-x∈R,则g(-x)=(2-x-2x)m+(-x3-x)n=-(2x-2-x)m-(x3+x)n ∴g(-x)=-g(x), ∴函数g(x)是奇函数. (2)令x=2和x=-2分别代入g(x)=f(x)-x2+1, ∴g(2)=f(2)-4+1 ①,g(-2)=f(-2)-4+1 ②, 由(1)得,g(x)=f(x)-x2+1是奇函数,则g(2)=-g(-2), 又∵f(2)=8,∴①+②得,f(-2)=-2. |
举一反三
对于函数f(x),定义域为D,若存在x0∈D使f(x0)=x0,则称(x0,x0)为f(x)的图象上的不动点. 由此,函数f(x)=的图象上不动点的坐标为 ______. |
已知:函数f(x)=ax++c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=,f(2)=, (Ⅰ)求a、b、c的值; (Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,)上的单调性并证明. |
函数f(x)=的单调增区间是( )A.(-∞,-1) | B.(-1,+∞) | C.(-∞,-1)∪(-1,+∞) | D.(-∞,-1)和(-1,+∞) |
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已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=. ①确定函数的解析式; ②用单调性的定义,证明f(x)在(0,1)上是增函数. |
已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=1,f(-1)=-1.(1)求实数b值;(2)若不等式f(x)≥-2恒成立,求实数a的取值范围;(3)设函数y=f(x)存在最大值M(a),求M(a)的最小值. |
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