已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=1,f(-1)=-1.(1)求实数b值;(2)若不等式f(x)≥-2恒成立,求实数a的取值范围;(3)设函数y=
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=1,f(-1)=-1.(1)求实数b值;(2)若不等式f(x)≥-2恒成立,求实数a的取值范围;(3)设函数y=f(x)存在最大值M(a),求M(a)的最小值. |
答案
(1)∵函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=1,f(-1)=-1, ∴a+b+c=1,a-b+c=-1,解得 b=1,且 a+c=0. (2)由上知 f(x)=ax2+x-a, ∵不等式f(x)≥-2恒成立, ∴ax2+x+2-a≥0 恒成立, ∴,解得 0<a≤1+. 故实数a的取值范围为 {a|0<a≤1+ }. (3)由函数y=f(x)存在最大值M(a),f(x)=ax2+x-a, 故a<0,且最大值 M(a)==(-a)+( )≥2=1, 当且仅当 (-a)=( ),即 a=- 时,等号成立, 故M(a)的最小值为1. |
举一反三
函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,且a≠0),x∈R,H(x)= (1)若f(-1)=0,且方程ax2+bx+1=0(a≠0)有唯一实根,求H(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k取值范围; (3)设a=1且b=0,解关于m的不等式:H(m2+2)+H(3m)>0. |
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)为增函数,且f(3)=0那么不等式xf(x)<0的解集是( )A.(-3,-1)∪(1,3) | B.(-3,0)∪(3,+∞) | C.(-3,0)∪(0,3) | D.(-∞,-3)∪(0,3) |
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已知f(x)=x,x∈[1,16],g(x)=f(x2)-2f(x)+1,则g(x)的最大值为( ) |
已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R). (1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围. |
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