函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,且a≠0),x∈R,H(x)=f(x)0(x>0)(x=0)-f(x)(x<0)(1)若f(-1)=0,且方程ax
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函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,且a≠0),x∈R,H(x)=f(x)0(x>0)(x=0)-f(x)(x<0)(1)若f(-1)=0,且方程ax
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
函数f(x)=ax
2
+bx+1(a,b为实数,且a≠0),x∈R,
H(x)=
f(x)
0
(x>0)
(x=0)
-f(x)
(x<0)
(1)若f(-1)=0,且方程ax
2
+bx+1=0(a≠0)有唯一实根,求H(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k取值范围;
(3)设a=1且b=0,解关于m的不等式:H(m
2
+2)+H(3m)>0.
答案
(1)∵ax
2
+bx+1=0(a≠0)有相等实根
∴△=b
2
-4a=0①…(1分)
又∵f(-1)=0
即 a-b+1=0②…(1分)
由①、②可得:a=1,b=2…(1分)
∴
F(x)=
x
2
+2x+1,x>0
0,x=0
-
x
2
-2x-1,x<0
…(1分)
(2)∵g(x)=f(x)-kx=x
2
+(2-k)x+1…(1分)
∵g(x)在[-2,2]上是单调函数
∴
-2+k
2
≤-2
或
k-2
2
≥2
…(3分)
∴k≤-2或k≥6…(1分)
(3)∵a=1且b=0
∴f(x)=x
2
+1…(1分)
∴
H(x)=
x
2
+1
x>0
0
x=0
-
x
2
-1
x<0
…(1分)
∴H(x)是奇函数且在R上是增函数
∵H(m
2
+2)+H(3m)>0
∴H(m
2
+2)>-H(3m)
∵H(x)是奇函数
∴H(m
2
+2)>H(-3m)…(1分)
又∵H(x)在R上是增函数
∴m
2
+2>-3m
解得:m>-1或m<-2…(1分)
∴不等式的解集为(-∞,-2)∪(-1,+∞)…(1分)
举一反三
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)为增函数,且f(3)=0那么不等式xf(x)<0的解集是( )
A.(-3,-1)∪(1,3)
B.(-3,0)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(0,3)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知f(x)=x,x∈[1,16],g(x)=f(x
2
)-2f(x)+1,则g(x)的最大值为( )
A.225
B.165
C.9
D.O
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=
x-3(x≥9)
((x+4))(x<9)
,则f(5)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
+
a
x
(x≠0,常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)在R上单调递增,设
α=
λ
1+λ
,β=
1
1+λ
(λ≠1)
,若有f(α)-f(β)>f(1)-f(0),则λ的取值范围是( )
A.(-∞,-1)
B.(-∞,-1)∪(-1,0)
C.(-1,0)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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