已知函数y=f(x)的定义域是(-∞,+∞),考察下列四个结论:①若f(-1)=f(1),则f(x)是偶函数;②若f(-1)<f(1),则f(x)在区间[-2,
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知函数y=f(x)的定义域是(-∞,+∞),考察下列四个结论: ①若f(-1)=f(1),则f(x)是偶函数; ②若f(-1)<f(1),则f(x)在区间[-2,2]上不是减函数; ③若f(-1)•f(1)<0,则方程f(x)=0在区间(-1,1)内至少有一个实根; ④若|f(x)|=|f(-x)|,x∈R,则f(x)是奇函数或偶函数. 其中正确结论的序号是 ______(填上所有正确结论的序号) |
答案
对于①,只有f(-1)=f(1),不能判定为偶函数; 对于②,由f(-1)<f(1),能确定f(x)在[-2,2]上不是减函数; 对于③,若函数在(-1,1)内不连续,则不一定会有实数根; 对于④,虽然|f(x)|=|f(-x)|有f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x), 但f(x)仍不一定为奇函数或偶函数,还必需有函数的定义域关于原点对称才可以判断, 故答案为:② |
举一反三
f(x)是定义在R上的函数,对x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(-1)=2. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)是R上的减函数; (3)求f(x)在[-2,4]上的最值. |
已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数,如果存在实数m、n使得h (x)=m f(x)+ng(x),那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.设f (x)=x2+ax,g(x)=x+b(a,b∈R),l(x)=2x2+3x-1,h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数. (Ⅰ)设a=1,b=2,若h (x)为偶函数,求h(); (Ⅱ)设b>0,若h (x)同时也是g(x)、l(x)在R上生成的一个函数,求a+b的最小值; (Ⅲ)试判断h(x)能否为任意的一个二次函数,并证明你的结论. |
已知定义在R的奇函数f(x),在[0,+∞)上单调递减,且f(2-a)+f(1-a)<0,则a的取值范围是( )A.(,2] | B.(,+∞) | C.[1,) | D.(-∞,) |
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给出下列四个函数:①f(x)=x+1,=2 ②f(x)=,③f(x)=x2,④f(x)=sinx,其中在(0,+∞)是增函数的有( ) |
已知函数f(x)=(2x-2-x)m+(x3+x)n+x2-1(x∈R) (1)求证:函数g(x)=f(x)-x2+1是奇函数; (2)若f(2)=8,求f(-2)的值. |
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