已知函数f(x)=a-22x+1是奇函数(a∈R).(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)试判断函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论;(Ⅲ)若对任意的t∈
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已知函数f(x)=a-22x+1是奇函数(a∈R).(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)试判断函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论;(Ⅲ)若对任意的t∈
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=a-
2
2
x
+1
是奇函数(a∈R).
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)试判断函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并证明你的结论;
(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-(m-2)t)+f(t
2
-m-1)<0恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题意可得:f(x)=
a
2
x
+a-2
2
x
+1
∵f(x)是奇函数∴f(-x)=-f(x)
即
a
2
-x
+a-2
2
-x
+1
=-
a
2
x
+a-2
2
x
+1
a+(a-2)
2
x
2
x
+1
=-
a
2
x
+a-2
2
x
+1
∴a-2=a,即a=1(4分)
即
f(x)=1-
2
2
x
+1
(Ⅱ)设x
1
,x
2
为区间(-∞,+∞)内的任意两个值,且x
1
<x
2
,
则
0<
2
x
1
<
2
x
2
,
2
x
1
-
2
x
2
<0
,
∵f(x
1
)-f(x
2
)=
2
2
x
2
+1
-
2
2
x
1
+1
=
2(
2
x
1
-
2
x
2
)
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
<0
即f(x
1
)<f(x
2
)∴f(x)是(-∞,+∞)上的增函数.(10分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,且是奇函数.
∵f(t
2
-(m-2)t)+f(t
2
-m-1)<0
∴f(t
2
-(m-2)t)<-f(t
2
-m-1)=f(-t
2
+m+1)
∴t
2
-(m-2)t<-t
2
+m+1(13分)
即2t
2
-(m-2)t-(m+1)<0对任意t∈R恒成立.
只需△=(m-2)
2
+4×2(m+1)=m
2
+4m+12<0,
解之得m∈∅(16分)
举一反三
已知
f(x)=
x
2
,x>0
2,x=0
0,x<0
,则f{f[(-2)]}的值为( )
A.0
B.2
C.4
D.8
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=
x
2
+1 x≤0
-2x x>0
若f(a)=10,则a的值是( )
A.3
B.-3
C.±3
D.5
题型:单选题
难度:简单
|
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设
f(x)=
x,x≥0
x
2
,x<0
,则f(f(-2))=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=a-
2
2
x
+1
,(a∈R).
(1)若f(x)是奇函数,求a的值;
(2)判断f(x)在定义域上的单调性,并证明;
(3)要使f(x)≧0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数y=x
2
+bx+c(x∈(-∞,1))是单调函数时,b的取值范围______.
题型:填空题
难度:一般
|
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