已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线为l1、l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2

已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线为l1、l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的两条渐近线为l1、l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于P点,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.(如图)
(1)当l1与l2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程;
(2)当


FA


AP
时,求λ的最大值.魔方格
答案
(1)∵双曲线的渐近线为y=±
b
a
x,两渐近线夹角为60°,
b
a
<1,∴∠POx=30°,即
b
a
=tan30°=


3
3

∴a=


3
b.
又a2+b2=4,
∴a2=3,b2=1.
故椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1.
(2)由已知l:y=
a
b
(x-c),与y=
b
a
x解得P(
a2
c
ab
c
),


FA


AP
得A(
c+λ•
a2
c
1+λ
λ•
ab
c
1+λ
).
将A点坐标代入椭圆方程得(c2+λa222a4=(1+λ)2a2c2
∴(e2+λ)22=e2(1+λ)2
∴λ2=
e4-e2
e2-2
=-[(2-e2)+
2
2-e2
]+3≤3-2


2

∴λ的最大值为


2
-1.
举一反三
定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=0,当x∈(-1,0)时函数f(x)的导函数f"(x)<0恒成立.如果f(1-a)+f(1-a2)>0,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
x
x+1

(1)求f(f(2))的值;
(2)判断函数在(-1,+∞)上单调性,并用定义加以证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2x2-xf′(2),则f′(5)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设方程2x+x=4的根为x0,若x0∈(k-1,k),则整数k=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
如图所示,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=______.(用数字作答)魔方格
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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