已知函数f(x)=|x2-4x+3|.(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;(2)若关于x的方程f(x)-a=x至少有三个不相等的实数根,求实数a的取
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)若关于x的方程f(x)-a=x至少有三个不相等的实数根,求实数a的取值范围. |
答案
(1)f(x)=|x2-4x+3|= | x2-4x+3 (x≤1) | -x2+4x-3 (1<x<3) | x2-4x+3 (x≥3) |
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∴当x≤1时,函数为减函数;当1≤x≤2时,函数为增函数; 当2≤x≤3时,函数为减函数;当x≥3时,函数为增函数 由此可得:函数的单调递增区间为[1,2]和[3,+∞), 递减区间为(-∞,1]和[2,3] (2)关于x的方程f(x)-a=x即f(x)=x+a, 由y=x+a和y=-x2+4x-3,消去y,得x2-3x+3+a=0, 由△=9-4(3+a)=0,得a=-, ∴当a=-时,直线y=x+a与曲线y=-x2+4x-3相切于点A(,), 又∵直线y=x+a经过点B(1,0)时,两图象也有三个公共点,此时a=-1 ∴当直线y=x+a位于点A、B之间(含边界)时,两图象至少有三个不同的交点 由此,结合函数图象可得a∈[-1,-]. |
举一反三
定义运算“*”如下:a*b=,则函数f(x)=(1*x)•x-(2*x)(x∈[-2,2))的最大值等于( ) |
某种电热水器的水箱盛满水是200升,加热到一定温度可浴用.浴用时,已知每分钟放水34升,在放水的同时注水,t分钟注水2t2升,当水箱内水量达到最小值时,放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升,则该热水器一次至多可供______人洗澡? |
某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元,每桶水进价为5元,销售单价与日销售量的关系如下表:
销售单价(元) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 日销售量(桶) | 480 | 440 | 400 | 360 | 320 | 280 | 240 | 函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数. (I)求函数f(x)的解析式; (II)用单调性定义证明函数f(x)在(0,1)上是增函数. |
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