已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a>0,a≠1)的图象关于原点对称.(1)求m的值;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.
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已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a>0,a≠1)的图象关于原点对称.(1)求m的值;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=lo
g
a
1-mx
x-1
(a>0,a≠1)
的图象关于原点对称.
(1)求m的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.
答案
(1)∵函数
f(x)=lo
g
a
1-mx
x-1
(a>0,a≠1)
的图象关于原点对称
∴函数为奇函数,满足f(-x)+f(x)=0,即
lo
g
a
1+mx
-x-1
+
lo
g
a
1-mx
x-1
=0对定义域内任意x都成立,
即
lo
g
a
(
1+mx
-x-1
•
1-mx
x-1
)
=log
a
1,
1-
m
2
x
2
1-
x
2
=1对定义域内任意x都成立,
∴m
2
=1,得m=±1,经检验m=1不符合题意舍去,所以m的值为-1;
(2)当0<a<1时,f(x)是(1,+∞)的增函数;当a>1时,f(x)是(1,+∞)的减函数,证明如下
由(1)得
f(x)=lo
g
a
1+x
x-1
,(x>1)
设t=
1+
x
x
-1
,再令1<x
1
<x
2
,则t
1
=
1+
x
1
x
1
-1
,t
2
=
1+
x
2
x
2
-1
,
可得t
1
-t
2
=
1+
x
1
x
1
-1
-
1+
x
2
x
2
-1
=
2(
x
2
-
x
1
)
(x
1
-1)
(x
2
-1)
>0,有t
1
>t
2
,
∴函数t=
1+
x
x-1
是(1,+∞)上的减函数.
根据复合函数单调性法则,得:当0<a<1时,f(x)是(1,+∞)的增函数;
当a>1时,f(x)是(1,+∞)的减函数.
举一反三
已知函数f(x)=1-3(x-1)+3(x-1)
2
-(x-1)
3
,则:f
-1
(8)+f(1)= .
题型:填空题
难度:简单
|
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设函数f(x)=
(
1
2
)
x
(x≤0)
x
1
2
(x>0)
,若f[f(-2)]______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f(
1
f(3)
)的值等于______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x|x-2|.
(Ⅰ)解不等式f(x)<3;
(Ⅱ)设0<a<2,求f(x)在[0,a]上的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设函数y=f(x)在R内有定义,对于给定的正数K,定义函数f
x
(x)=
f(x),f(x)≤K
K,f(x)>K
,取函数f(x)=2
-|x|
.当K=
1
2
时,函数f
K
(x)的单调递减区间为( )
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(1,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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