将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和.记S= -1≤i≤j≤5xixj.问:(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最大值;(

将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和.记S= -1≤i≤j≤5xixj.问:(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最大值;(

题型:解答题难度:一般来源:不详
将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和.记S=
 


-1≤i≤j≤5
xixj.问:
(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最大值;
(2)进一步地,对任意1≤i,j≤5有
.
xi-xj 
  
.
≤2,当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最小值.说明理由.
答案
(1)首先这样的S的值是有界集,故必存在最大值与最小值. 
x1+x2+x3+x4+x5=2006,且使S=
 






-1≤i≤j≤5
xixj
取到最大值,则必有|xi-xj|≤1(1≤i,j≤5)…(5分)     (*)
事实上,假设(*)不成立,不妨假设x1-x2≥2,则令x1=x1-1,x2′=x2+1,xi′=xi (i=3,4,5),有x1′+x2′=x1+x2,x1′•x2′=x1x2+x1-x2-1>x1x2
将S改写成S=
 






-1≤i≤j≤5
xixj
=x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5
同时有 S′=x1′x2′+(x1′+x2′)((x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5
于是有S′-S=x1′x2′-x1x2>0.
这与S在x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾.
所以必有|xi-xj|≤1,(1≤i,j≤5).
因此当x1=402,x2=x3=x4=x5=401时S取到最大值.            …(10分)
(2)当x1+x2+x3+x4+x5=2006,且|xi-xj|≤2时,只有
(1)402,402,402,400,400;
(2)402,402,401,401,400;
(3)402,401,401,401,401;
三种情形满足要求.                                  …(15分)
而后两种情形是由第一组作xi′=xi-1,xj′=xj+1调整下得到的.
根据上一小题的证明可知道,每次调整都使和式S=
 






-1≤i≤j≤5
xixj
变大.
所以在x1=x2=x3=402,x4=x5=400时S取到最小值.…(20分)
举一反三
已知α,β是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f(x)=
2x-t
x2+1
的定义域为[α,β].
(Ⅰ)求g(t)=maxf(x)-minf(x);
(Ⅱ)证明:对于ui∈(0,
π
2
)(i=1,2,3)
,若sinu1+sinu2+sinu3=1,则
1
g(tanu1)
+
1
g(tanu2)
+
1
g(tanu3)
3
4


6
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列函数在其定义域上是增函数的是(  )
A.y=log2(1-x)B.y=x3-1C.y=21-xD.y=2-|x|
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求实数a的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=2x+a•2-x是定义域为R的奇函数,
(1)求实数a的值;
(2)证明:f(x)是R上的单调函数;
(3)若对于任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(t2-k)>0恒成立,求k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列函数中,既是其定义域上的是单调函数,又是奇函数的是(  )
A.y=x-1B.y=log23xC.y=log2xD.y=2x
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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