已知函数f（x）=2x+a•2-x是定义域为R的奇函数，（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）是R上的单调函数；（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t2-2t

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=2^x+a•2^-x是定义域为R的奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）是R上的单调函数；
（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=2^x+a•2^-x是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，
经检验当a=-1时，f（x）是奇函数，故所求a=-1；
（2）由（1）可知f（x）=2^x-2^-x，
∀x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f(x2)-f(x1)=(2x2-2-x2)-(2x1-2-x1)=(2x2-2x1)(1+

1

2x1+x2

)
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，即2x2-2x1＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的递增函数，即f（x）是R上的单调函数．
（3）∵根据题设及（2）知f（t²-2t）+f（t²-k）＞0，
等价于f（t²-2t）＞-f（t²-k）=f（k-t²），即t²-2t＞k-t²，∴2t²-2t-k＞0，
∴原不等式恒成立即是2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，∴△=4+8k＜0，
∴所求k的取值范围是k＜-

1

2

．