设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立？若存在，试求出实
题型：解答题难度：一般来源：不详
| 设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立？若存在，试求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． |
答案
解法一：由条件得1-ax-x2＜2-a对于x∈[0，1]恒成立
令g（x）=x2+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．
g（x）=x2+ax-a+1=（x+）2--a+1．
①当-＜0，即a＞0时，g（x）min=g（0）=1-a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；
②当0≤-≤1，即-2≤a≤0时，g（x）min=g（-）=--a+1＞0，∴-2-2＜a＜-2+2，故-2≤a≤0；
③当-＞1，即a＜-2时，g（x）min=g（1）=2＞0，满足，故a＜-2．
故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）．
解法二：由1-ax-x2＜2-a得（1-x）a＜x2+1，
∵x∈[0，1]，∴1-x≥0，
∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R；
②当x∈[0，1）时，a＜恒成立．
求当x∈[0，1）时，函数y=的最小值．
令t=1-x（t∈（0，1]），则y===t+-2，
而函数y=t+-2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，ymin=1．
故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，
由①②得a＜1．
故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）． |
举一反三
已知函数f（x）=lg（ax-bx），（其中a、b为常数，且a＞1，b＞0），若x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立，则（ ）| A．a-b≥1 | B．a-b＞1 | C．a-b≤1 | D．a=b+1 |
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| 已知f（x+1）=|x|-|x+2|，则f（log23）=______． |
在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f(x)=(2x)*的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-)，(，+∞)．其中所有正确说法的个数为（ ） |
| 已知函数f（x）是R上的奇函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）时，f（-2013）+f（2012）的值为（ ） |
已知函数f（x）=loga（8-2x）（a＞0且a≠1）
（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；
（2）当a＞1时，求函数y=f（x）+f（-x）的最大值． |
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