已知平面向量a=(32,12),b=(12,32).(1)证明:a⊥b;(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-k)b,y=-sa+tb,且x⊥y
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已知平面向量a=(32,12),b=(12,32).(1)证明:a⊥b;(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-k)b,y=-sa+tb,且x⊥y
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知平面向量
a
=(
3
2
,
1
2
),
b
=(
1
2
,
3
2
).
(1)证明:
a
⊥
b
;
(2)若存在不同时为零的实数k和t,使
x
=
a
+(t
2
-k)
b
,
y
=-s
a
+t
b
,且
x
⊥
y
,试求s=f(t)的函数关系式;
(3)若s=f(t)在[1,+∞)上是增函数,试求k的取值范围.
答案
(本小题满分12分)
(1)证明:由题知
|
a
|=|
b
|=1
,且
a
•
b
=
3
2
×
1
2
-
1
2
×
3
2
=0
,
∴
a
⊥
b
.(4分)
(2)由于
x
⊥
y
,则
x
•
y
=0
,
从而-s|
a
|
2
+(t+sk-st
2
)
a
•
b
+t(t
2
-k)|
b
|
2
=0,
故s=f(t)=t
3
-kt.(8分)
(3)设t
1
>t
2
≥1,
则
f(
t
1
)-f(
t
2
)
=t
1
3
-
kt
1
-
(t
1
3
-kt
2
)
=(t
1
-t
2
)(
t
1
2
+
t
1
t
2
+
t
2
2
-k
),
∵s=f(t)在[1,+∞)上是增函数,
∴
t
1
2
+t
1
t
2
+
t
2
2
-k>0
,
即k<
t
1
2
+
t
1
t
2
+
t
2
2
在[1,+∞)上恒成立,
∵
t
1
2
+
t
1
t
2
+
t
2
2
>3,
∴只需k≤3即可.(12分)
举一反三
f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+3)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x
2
,则f(8)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=
3x+2,x<1
x
2
+ax,x≥1
若f(f(0))=4a,则实数a=______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
f(x)=
lo
g
3
x,x>0
2
x
,x≤0
,则
f(f(
1
9
))
=( )
A.4
B.
1
4
C.-4
D.-
1
4
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数y=f(x)的图象在点(3,f(3))处的切线方程是y=-x+4,则f(3)+f′(3)等于______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
f(x)=
1
2
a
x
2
+2x
,g(x)=lnx.
(Ⅰ)如果函数y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数a>0,使得方程
g(x)
x
=f′(x)-(2a+1)
在区间
(
1
e
,e)
内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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