定义在D上的函数f(x),如果满足对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,已知函数f
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定义在D上的函数f(x),如果满足对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,已知函数f
题型:解答题
难度:一般
来源:同步题
定义在D上的函数f(x),如果满足对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,已知函数f(x)=1+x+ax
2
(1)当a=﹣1时,求函数f(x)在(﹣∞,0)上的值域,判断函数f(x)在(﹣∞,0)上是否为有界函数,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
答案
解:(1)当a=﹣1时,函数f(x)=1+x﹣x
2
=﹣(x﹣
)
2
+
∴f(x)在(﹣∞,0)上是单调增函数,f(x)<f(0)=1
∴f(x)在(﹣∞,0)上的值域为(﹣∞,1)
因此|f(x)|的取值范围是[0,+∞)
∴不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,故f(x)不是(﹣∞,0)上的有界函数.
(2)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,
则|f(x)|≤3在[1,4]上恒成立,即﹣3≤f(x)≤3
∴﹣3≤ax
2
+x+1≤3
∴
≤a≤
,即﹣
﹣
≤a≤
﹣
在[1,4]上恒成立,
∴(﹣
﹣
)
max
≤a≤(
﹣
)
min
,
令t=
,则t∈[
,1]
设g(t)=﹣4t
2
﹣t=﹣4(t+
)2+
,则当t=
时,g(t)的最大值为﹣
再设h(t)=2t
2
﹣t=2(t﹣
)2﹣
,则当t=
时,h(t)的最大值为﹣
∴(﹣
﹣
)
max
=﹣
,(
﹣
)
min
=﹣
所以,实数a的取值范围是[﹣
,﹣
].
举一反三
已知函数f(x)=a|x+1|+x(a∈R).
(Ⅰ)当a=2时,f(x)在[b,+∞)上为增函数,求b的取值范围;
(Ⅱ)若函数f (x)在 R 上具有单调性,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=( )。
题型:填空题
难度:一般
|
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函数y=
x
2
-lnx的单调递减区间为
[ ]
A.(-1,1]
B.(0,1]
C.[1,+∞)
D.(0,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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已在f(x)=e
x
﹣ax﹣1,若f(x)在定义域R内单调递增,则a的取值范围是( ).
题型:填空题
难度:一般
|
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一次研究性课堂上,老师给出函数
,三位同学在研究此函数时给出以下命题:
①函数f(x)的值域为[﹣1,1];
②若x
1
≠x
2
,则一定有f(x
1
)≠f(x
2
);
③对任意的x
1
,x
2
∈R,存在x
0
,使得f(x
1
)+f(x
2
)=2f(x
0
)成立;
④若规定
对任意n∈N*恒成立.你认为上述命题中正确的是( )(请将正确命题的序号都填上)
题型:填空题
难度:一般
|
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