已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）；②对任意n∈N*都有f[f（n）]

题型：解答题难度：困难来源：广东省月考题

已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）；②对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n．
（1）试证明：f（x）为N*上的单调增函数；
（2）求f（1）+f（6）+f（30）；
（3）令，试证明：，判断S_n与的大小（不需要证明）

答案

解：（1）由①知，对任意a，b∈N*，a＜b，都有（a﹣b）（f（a）﹣f（b））＞0，
由于a﹣b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N*上的单调增函数． 
（2）令f（1）=a，则a＞1，显然a≠1，
否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，
即a＜3．
于是得1＜a＜3，
又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2． 
而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
  f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
 f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54﹣27=81﹣54=27，
而且由（I）知，函数f（x）为单调增函数，
因此f（30）=54+3=57．
从而f（1）+f（6）+f（30）=2+9+57=68． 
（3），，a₁=f（3）=6．
即数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴．
于是，
显然，