已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且与x轴有唯一的交点(﹣1,0).(Ⅰ)求f(x)的表达式;(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)
题型:解答题难度:一般来源:北京月考题
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且与x轴有唯一的交点(﹣1,0). (Ⅰ)求f(x)的表达式; (Ⅱ)设函数F(x)=f(x)﹣kx,x∈[﹣2,2],记此函数的最小值为g(k),求g(k)的解析式. |
答案
解:(Ⅰ)∵二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且与x轴有唯一的交点(﹣1,0). ∴c=1,,b2﹣4ac=0 解得a=1,b=2,c=1, 从而f(x)=x2+2x+1; (Ⅱ)F(x)=x2+(2﹣k)x+1,对称轴为,图象开口向上 当即k≤﹣2时,F(x)在[﹣2,2]上单调递增, 此时函数F(x)的最小值g(k)=F(﹣2)=2k+1 当即﹣2<k≤6时,F(x)在上递减,在上递增 此时函数F(x)的最小值; 当即k>6时,F(x)在[﹣2,2]上单调递减, 此时函数F(x)的最小值g(k)=F(2)=9﹣2k; 综上,函数F(x)的最小值g(k)=. |
举一反三
已知 (Ⅰ)若求的表达式; (Ⅱ)若函数f (x)和函数g(x)的图象关于原点对称,求函数g(x)的解析式; (Ⅲ)若在上是增函数,求实数的取值范围. |
下列函数中,在区间(﹣∞,0)上是减函数的是 |
[ ] |
A.y=1﹣x2 B.y=x2+x C. D. |
已知函数f(x)是奇函数,其定义域为(﹣1,1),且在[0,1)上是增函数,若f(a﹣2)+f(3﹣2a)<0,试求a的取值范围. |
函数f(x)是定义在R上的奇函数,给出下列命题: ①f(0)=0; ②若f(x)在(0,+∞)上有最小值为﹣1,则f(x)在(﹣∞,0)上有最大值1; ③若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(﹣∞,﹣1]上为减函数; ④若x>0,f(x)=x2﹣2x;则x<0时,f(x)=﹣x2﹣2x. 其中所有正确的命题序号是( ) |
如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f (x)在区间[﹣7,﹣3]上是 |
[ ] |
A.增函数且最小值为﹣5 B.增函数且最大值为﹣5 C.减函数且最小值为﹣5 D.减函数且最大值为﹣5 |
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