已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则

已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则

题型:解答题难度:困难来源:0115 期末题
已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称f(x)为“友谊函数”。
(1)若已知f(x)为“友谊函数”,求f(0)的值;
(2)函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”?并给出理由;
(3)已知f(x)为“友谊函数”,且0≤x1<x2≤1,求证:f(x1)≤f(x2)。
答案
解:(1)取
又由f(0)≥0,
得f(0)=0;
(2)显然在[0,1]上满足①0;②
③若
则有
满足条件①﹑②﹑③,
所以为友谊函数。
(3)因为
所以
举一反三

已知函数f(x)的定义域为D:(-∞,0)∪(0,+∞),且满足对于任意x,y∈D,有f(xy)=f(x)+f(y),
(Ⅰ)求f(1),f(-1)的值;
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(Ⅲ)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围。

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已知函数f(x)=(|x|(-∞<x<+∞),那么f(x)是

[     ]

A、奇函数,并且在(-∞,0)上是减函数
B、奇函数,并且在(0,+∞)上是减函数
C、偶函数,并且在(-∞,0)上是增函数
D、偶函数,并且在(-∞,0)上是减函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,又f(2)=0,则不等式的解集为(    )。
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数y=x+有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,] 上是减函数,在[,+∞)上是增函数,
(1)如果函数y=x+(x>0)在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求b的值;
(2)设常数c∈[1,4],求函数f(x)=x+(1≤x≤2)的最大值和最小值;
(3)当n是正整数时,研究函数g(x)=xn+(c>0)的单调性,并说明理由。
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已知函数
(Ⅰ)求f(x)的定义域和值域;
(Ⅱ)写出f(x)的单调区间,并用定义证明f(x)在所写区间上的单调性。

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