设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）·f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有

题型：解答题难度：一般来源：0103 期中题

设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）·f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；
（2）判断f（x）在R上的单调性。

答案

（1）证明：∵f（m+n）=f（m）f（n），
令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），
且由x＞0时，0＜f（x）＜1，
所以f（0）=1；
设m=x=0，n=-x＞0，
∴

，
∴

；
（2）解：

，则

时，
∴

，
∴

，
∴f（x）在R上单调递减。

举一反三

若偶函数f(x)在(-∞，-1]上是增函数，则下列关系式中成立的是

[ ]

A、

B、

C、

D、

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已知函数f（x）=x+

，且f（1）=2，
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断并证明函数f（x）在［1，2］上的单调性，并求出函数f（x）在［1，2］上的最值。

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已知函数f(x)=3^x，且x=a+2时，f(x)=18，g(x)=3^ax-4^x的定义域为［0，1］，
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的单调区间；
(3)求g(x)的值域。

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函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（

）=1，
（1）求f（1）；
（2）求f（2），f（4），f（8）；你能猜测出f（2ⁿ）等于多少吗？（不必说明理由）
（3）若对于任意x，y∈R⁺且x≠y，都有

，解不等式：f（-x）+f（3-x）≥-2。

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如下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f（x）的图象，该函数的单调增区间为

[ ]

A．[-2，1]
B．[3，5]
C．[-2，1]∪[3，5]
D．[-2，1]和[3，5]

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