已知数列{an}满足:a1=1,an+1=12an+n,n为奇数an-2n,n为偶数(I)求a2,a3;(II)设bn=a2n-2,n∈N*,求证:数列{bn}
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已知数列{an}满足:a1=1,an+1=12an+n,n为奇数an-2n,n为偶数(I)求a2,a3;(II)设bn=a2n-2,n∈N*,求证:数列{bn}
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}满足:
a
1
=1,
a
n+1
=
1
2
a
n
+n,n为奇数
a
n
-2n,n为偶数
(I)求a
2
,a
3
;
(II)设
b
n
=
a
2n
-2,n∈
N
*
,求证:数列{b
n
}是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅲ)求数列{a
n
}前20项中所有奇数项的和.
答案
(Ⅰ)令n=1,得a
2
=
1
2
a
1
+1=
3
2
,令n=2,得a
3
=a
2
-4=-
5
2
.
(II)b
1
=a
2
-2=-
1
2
,且
b
n+1
b
n
=
a
2n+2
-2
a
2n
-2
=
1
2
a
2n+1
+(2n+1)-2
a
2n
-2
=
1
2
(a
2n
-2×2n)+2n-1
a
2n
-2
=
1
2
,是一个与n无关的常数.
所以数列{b
n
}是等比数列,其通项公式b
n
=-
(
1
2
)
n
(Ⅲ)由(II)可得a
2n
=2+b
n
.
数列{a
n
}前20项中所有奇数项的和S=a
1
+a
3
+a
5
+…+a
19
=a
1
+
1
2
(
a
2
-2×1)
+
1
2
(
a
4
-2×2)
+…+
1
2
(
a
18
-2×18)
=1-(1+2+4+…18)+
1
2
(a
2
+a
4
+…a
18
)
=-90+
1
2
(2+b
1
+2+b
2
+…2+b
9
)=-90+
1
2
(18+
-
1
2
(1-
1
2
9
)
1-
1
2
)=-90+9-
1
2
+
1
2
10
=
1
2
10
-
163
2
举一反三
设S
n
是等比数列{a
n
}前n项的乘积,若a
9
=1,则下面的等式中正确的是( )
A.S
1
=S
19
B.S
3
=S
17
C.S
5
=S
12
D.S
8
=S
11
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
} 的前n项和S
n
,且S
n
=
1
3
(a
n
-1)(n∈N
*
).
(1)求a
1
,a
2
,a
3
;
(2)求证:数列{a
n
} 是等比数列.
题型:不详
难度:
|
查看答案
等比数列{a
n
}的公比为q,其前n项积为T
n
,并且满足条件
a
1
>1,
a
99
a
100
>1,
a
99
-1
a
100
-1
<0
,给出下列结论:①0<q<1;②a
99
a
101
-1<0;③T
100
的值是T
n
中最大的;④使T
n
>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是______.
题型:南宁模拟
难度:
|
查看答案
若实数列1,a,b,c,4是等比数列,则b的值为______.
题型:如皋市模拟
难度:
|
查看答案
等比数列{a
n
}中,a
3
=7,前三项和S
3
=21,则公比q=______.
题型:不详
难度:
|
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