已知数列{an}满足:a1=1,an+1=12an+n,n为奇数an-2n,n为偶数(I)求a2,a3;(II)设bn=a2n-2,n∈N*,求证:数列{bn}

已知数列{an}满足:a1=1,an+1=12an+n,n为奇数an-2n,n为偶数(I)求a2,a3;(II)设bn=a2n-2,n∈N*,求证:数列{bn}

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}满足:a1=1,an+1=





1
2
an+n,n为奇数
an-2n,n为偶数

(I)求a2,a3
(II)设bn=a2n-2,n∈N*,求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅲ)求数列{an}前20项中所有奇数项的和.
答案
(Ⅰ)令n=1,得a2=
1
2
a1+1=
3
2
,令n=2,得a3=a2-4=-
5
2

(II)b1=a2-2=-
1
2
,且
bn+1
bn
=
a2n+2-2
a2n-2
=
1
2
a
2n+1
+(2n+1)-2
a2n-2
=
1
2
(a2n
-2×2n)+2n-1
a2n-2
=
1
2
,是一个与n无关的常数.
 所以数列{bn}是等比数列,其通项公式bn=-(
1
2
)
n

(Ⅲ)由(II)可得a2n=2+bn
数列{an}前20项中所有奇数项的和S=a1+a3+a5+…+a19=a1+
1
2
(a2-2×1)
+
1
2
(a4-2×2)
+…+
1
2
(a18-2×18)
=1-(1+2+4+…18)+
1
2
(a2+a4+…a18
=-90+
1
2
(2+b1+2+b2+…2+b9)=-90+
1
2
(18+
-
1
2
(1-
1
29
)
1-
1
2
)=-90+9-
1
2
+
1
210
=
1
210
-
163
2
举一反三
设Sn是等比数列{an}前n项的乘积,若a9=1,则下面的等式中正确的是(  )
A.S1=S19B.S3=S17C.S5=S12D.S8=S11
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an} 的前n项和Sn ,且Sn=
1
3
(an-1)(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3
(2)求证:数列{an} 是等比数列.
题型:不详难度:| 查看答案
等比数列{an}的公比为q,其前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a99a100>1,
a99-1
a100-1
<0
,给出下列结论:①0<q<1;②a99a101-1<0;③T100的值是Tn中最大的;④使Tn>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是______.
题型:南宁模拟难度:| 查看答案
若实数列1,a,b,c,4是等比数列,则b的值为______.
题型:如皋市模拟难度:| 查看答案
等比数列{an}中,a3=7,前三项和S3=21,则公比q=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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