设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣

题型：解答题难度：困难来源：广东省高考真题

设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm²，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

答案

解：设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx²=4840，
设纸张面积为S，则有S=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，
将x=代入上式得S=5000+44，
当8，即时，S取得最小值，
此时，高：x=cｍ，宽：λx=cm，
如果λ∈，可设，
则由S的表达式得
S（λ₁）-S（λ₂），
由于，故，
因此S（λ₁）-S（λ₂）＜0，
所以S（λ）在区间内单调递增，
从而，对于λ∈，当λ=时，S（λ）取得最小值，
答：画面高为88cm、宽为55cm时，所用纸张面积最小；
如果要求λ∈，当λ=时，所用纸张面积最小。