已知f(x)=lnx-ax2-bx。(Ⅰ)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(Ⅱ)当a=1,b=-1时,证明:函数f(x)只有一个零
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已知f(x)=lnx-ax2-bx。(Ⅰ)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(Ⅱ)当a=1,b=-1时,证明:函数f(x)只有一个零
题型:解答题
难度:困难
来源:专项题
已知f(x)=lnx-ax
2
-bx。
(Ⅰ)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(Ⅱ)当a=1,b=-1时,证明:函数f(x)只有一个零点;
(Ⅲ)若f(x)的图象与x轴交于A(x
1
,0),B(x
2
,0)(x
1
<x
2
)两点,AB中点为C(x
0
,0),求证:f"(x
0
)<0。
答案
解:(1)依题意:f(x)=lnx+x
2
-bx
∵f(x)在(0,+∞)上递增
∴
对x∈(0,+∞)恒成立
即
,对x∈(0,+∞)恒成立
∴只需
∵x>0
∴
当且仅当
时取“=”
∴
∴b的取值范围为
。
(2)当a=1,b=-1时,f(x)=lnx-x
2
+x,其定义域是(0,+∞),
∴
∵x>0,
∴当0<x<1时,f"(x)>0
当x>1时,f"(x)<0
∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,
其值为f(1)=ln1-1
2
+1=0,
当x≠1时,f(x)<f(1),即f(x)<0,
∴函数f(x)只有一个零点。
(3)由已知得
两式相减得
=a(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)+b(x
1
-x
2
)
(x
1
-x
2
)[a(x
1
+x
2
)+b]
由
及2x
0
=x
1
+x
2
得
令
,
∵
∴φ(t)在(0,1)上递减,
∴φ(t)>φ(1)=0,
∵x
1
<x
2
,
∴f"(x
0
)<0。
举一反三
某农村在2003年底共有人口1 500人,全年工农业生产总值为3 000万元,从2004年起计划10年内该村的总产值每年增加50万元,人口每年净增a人。设从2004年起的第x年年底(2004年为第一年,x∈N*)该村人均产值为y万元,
(Ⅰ)写出y与x之间的函数关系式;
(Ⅱ)为使该村的人均产值年年都有增长,那么该村每年人口的净增量不能超过多少人?
题型:解答题
难度:一般
|
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对于R上的可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有
[ ]
A.f(x)≥f(a)
B.f(x)≤f(a)
C.f(x)>f(a)
D.f(x)<f(a)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=3x
3
-ax
2
+x-5在区间[1,2]上单调递增,则a的取值范围是
[ ]
A.(-∞,5)
B.(-∞,5]
C.
D.(-∞,3]
题型:单选题
难度:一般
|
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已知y=f(x)是定义在R上的单调减函数,实数x
1
≠x
2
,λ≠-1,
,
,若|f(x
1
)-f(x
2
)|<|f(α)-f(β)|,则
[ ]
A.λ<0
B.λ=0
C.0<λ<1
D.λ≥1
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
,有下列四个命题:
①是f(x)奇函数;
②f(x)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞);
③f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减;
④f(x)零点个数为2个;
⑤|f(x)|=a方程总有四个不同的解。
其中正确的是( )。(把所有正确命题的序号填上)
题型:填空题
难度:一般
|
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