(Ⅰ)证明:任取x1<x2,且x1,x2∈[-1,1], 则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2), ∵-1≤x1<x2≤1, ∴x1+(-x2)≠0, 由已知, 又x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在[-1,1]上为增函数. (Ⅱ)∵f(x)在[-1,1]上为增函数, ∴,解得; (Ⅲ)由(Ⅰ)可知f(x)在[-1,1]上为增函数,且f(1)=1, 故对x∈[-1,1],恒有f(x)≤1,所以要f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立, 即要t2-2at+1≥1成立,故t2-2at≥0, 记g(a)=t2-2at,对a∈[-1,1],g(a)≥0, 只需g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于0,g(-1)≥0,g(1)≥0, 解得,t≤-2或t=0或t≥2; ∴t的取值范围是:{t|t≤-2或t=0或t≥2}。 |