已知函数满足下列条件:(Ⅰ)定义域为[0,1];(Ⅱ)对于任意,且f(1)=1;(Ⅲ)当时,成立。(1)求f(0)的值;(2)证明:对于任意的,都有f(x)≤f
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已知函数满足下列条件:(Ⅰ)定义域为[0,1];(Ⅱ)对于任意,且f(1)=1;(Ⅲ)当时,成立。(1)求f(0)的值;(2)证明:对于任意的,都有f(x)≤f
题型:解答题
难度:困难
来源:期末题
已知函数
满足下列条件:
(Ⅰ)定义域为[0,1];
(Ⅱ)对于任意
,且f(1)=1;
(Ⅲ)当
时,
成立。
(1)求f(0)的值;
(2)证明:对于任意的
,都有f(x)≤f(y)成立;
(3)当0≤x≤1时,探究f(x)与2x的大小关系,并证明你的结论。
答案
(1)解:由函数
满足条件(Ⅱ)知
,
在条件(Ⅲ)中,令
得:
,
∴
,
故
。
(2)证明:对于任意的
,有
成立,
由
满足条件(Ⅱ)可得:
,
再由
满足条件(Ⅲ)可得:
,
即对于任意的
,都有
成立;
(3)解:当
时,
,由(2)知
,
∴
;
当x=0时,
,知
也成立,
故可猜想:当
时,
,
下面用反证法证明猜想成立:
假设存在
,使
,
由
知
,故必存在正整数
,使得
,
∴
均在[0,1]上,
由条件(Ⅲ)及假设知:
,
故
;
∵
,
∴
,
∴
,
又∵
,
,
∴
,与
矛盾,故假设不成立;
所以对于任意的
,都有
成立。
举一反三
下列函数中,在R上单调递增的是
[ ]
A、y=|x|
B、
C、
D、
题型:单选题
难度:一般
|
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下列函数中,在其定义域内既不是奇函数又不是增函数的是
[ ]
A、
B、
C、
D、
题型:单选题
难度:一般
|
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用函数单调性证明
在
上是单调减函数。
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知
是定义在
上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,设
,
,
,则
a
,b,c的大小关系是( )。
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
。
(1)证明:对定义域内的所有x,都有
;
(2)当
的定义域为[
a
+
,
a
+1]时,求
的值域;
(3)设函数
,若
,求
的最小值。
题型:解答题
难度:一般
|
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